Отношение частоты установившихся вынужденных колебаний

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 мая 2013; проверки требуют 16 правок.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: F ( t ) = F 0 отношение частоты установившихся вынужденных колебаний cos ⁡ ( Ω t ) {\displaystyle F(t)=F_{0}\cos \left(\Omega t\right)} F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right).

Содержание

Консервативный гармонический осциллятор[править | править вики-текст]

Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде: m a = − k x + F 0 cos ⁡ ( Ω t ) {\displaystyle ma=-kx+F_{0}\cos \left(\Omega t\right)}  ma = -kx + F_0 \cos\left(\Omega t\right). Если ввести обозначения: ω 0 2 = k m, Φ 0 = F 0 m {\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}},\quad \Phi _{0}={\frac {F_{0}}{m}}} \omega_0^2=\frac km, \quad \Phi_0=\frac{F_0}{m} и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

x ¨ + ω 0 2 x = Φ 0 cos ⁡ ( Ω t ) {\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=\Phi _{0}\cos(\Omega t)}  \ddot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos (\Omega t)

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:

x ( t ) = A sin ⁡ ( ω 0 t + φ ) {\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right)} x(t) = A \sin\left(\omega_0 t + \varphi\right),

где A, ϕ {\displaystyle A,\phi } A, \phi — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: x ( t ) = B cos ⁡ ( Ω t ) {\displaystyle x(t)=B\cos \left(\Omega t\right)} x(t)=B \cos \left(\Omega t \right) и получим значение для константы:

B = Φ 0 ω 0 2 − Ω 2 {\displaystyle B={\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}}}}  B = \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}

Тогда окончательное решение запишется в виде:

x ( t ) = A sin ⁡ ( ω 0 t + φ ) + Φ 0 ω 0 2 − Ω 2 cos ⁡ ( Ω t ) {\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right)+{\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}}}\cos \left(\Omega t\right)} {\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right)+{\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}}}\cos \left(\Omega t\right)} Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания

Резонанс[править | править вики-текст]

Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде: x ( t ) = t ( A cos ⁡ ( Ω t ) + B sin ⁡ ( Ω t ) ) {\displaystyle x(t)=t\left(A\cos \left(\Omega t\right)+B\sin \left(\Omega t\right)\right)} x(t)=t \left(A \cos \left(\Omega t \right) + B \sin \left(\Omega t \right)\right). Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что :

A = 0 B = Φ 0 2 Ω {\displaystyle A=0\qquad B={\frac {\Phi _{0}}{2\Omega }}} A = 0 \qquad B = \frac{\Phi_0}{2\Omega}

Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:

x ( t ) = Φ 0 2 Ω t sin ⁡ ( Ω t ) {\displaystyle x(t)={\frac {\Phi _{0}}{2\Omega }}t\sin \left(\Omega t\right)}  x(t) = \frac{\Phi_0}{2\Omega} t \sin \left(\Omega t \right)

Затухающий гармонический осциллятор[править | править вики-текст]

Второй закон Ньютона:

m a = − k x − α v + F 0 cos ⁡ ( Ω t ) {\displaystyle ma=-kx-\alpha v+F_{0}\cos \left(\Omega t\right)}  ma = -kx - \alpha v + F_0 \cos\left(\Omega t\right).

Переобозначения:

ω 0 2 = k m, Φ 0 = F 0 m, ζ = α 2 k m {\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}},\qquad \Phi _{0}={\frac {F_{0}}{m}},\qquad \zeta ={\frac {\alpha }{2{\sqrt {km}}}}} \omega_0^2=\frac km, \qquad \Phi_0=\frac{F_0}{m}, \qquad \zeta = \frac {\alpha}{2\sqrt{k m}}

Дифференциальное уравнение:

x ¨ + 2 ζ ω 0 x ˙ + ω 0 2 x = Φ 0 cos ⁡ ( Ω t ) {\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=\Phi _{0}\cos \left(\Omega t\right)} \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right)

Его решение будет строиться, как сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного. Анализ однородного уравнения приведён здесь. Получим и проанализируем частное решение.

Запишем вынуждающую силу следующим образом: Φ 0 cos ⁡ Ω t = Φ 0 R e e − i Ω t {\displaystyle \Phi _{0}\cos \Omega t=\Phi _{0}Re\,e^{-i\Omega t}} \Phi_0 \cos \Omega t = \Phi_0 Re\, e^{-i\Omega t}, тогда решение будем искать в виде: x ( t ) = A e − i Ω t, где A ∈ C {\displaystyle x(t)=Ae^{-i\Omega t},{\text{где}}A\in \mathbb {C} } {\displaystyle x(t)=Ae^{-i\Omega t},{\text{где}}A\in \mathbb {C} }. Подставим это решение в уравнение и найдём выражение для A:

A = Φ 0 ω 0 2 − Ω 2 − 2 i ζ Ω ω 0 = Φ 0 ( ω 0 2 − Ω 2 + 2 i ζ Ω ω 0 ) ( ω 0 2 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ω 0 2 = | A | e − i φ {\displaystyle A={\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}-2i\zeta \Omega \omega _{0}}}={\frac {\Phi _{0}\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}+2i\zeta \Omega \omega _{0}\right)}{\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}\omega _{0}^{2}}}=|A|e^{-i\varphi }} A=\frac{\Phi_0}{\omega_0^2-\Omega^2 - 2i\zeta\Omega\omega_0}=\frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\zeta\Omega\omega_0\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2\omega_0^2}=|A|e^{-i\varphi}

где | A | = Φ 0 ( ω 0 2 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ω 0 2, φ = − arctan ⁡ 2 ζ Ω ω 0 ω 0 2 − Ω 2 {\displaystyle |A|={\frac {\Phi _{0}}{\sqrt {\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}\omega _{0}^{2}}}},\qquad \varphi =-\arctan {\frac {2\zeta \Omega \omega _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}}}} |A|=\frac{\Phi_0}{\sqrt{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2\omega_0^2}}, \qquad \varphi=-\arctan\frac{2\zeta\Omega\omega_0}{\omega_0^2-\Omega^2}

Полное решение имеет вид:

x ( t ) = e − ζ ω 0 t ( c 1 cos ⁡ ( ω d t ) + c 2 sin ⁡ ( ω d t ) ) + R e [ Φ 0 ( ω 0 2 − Ω 2 + 2 i ζ Ω ω 0 ) ( ω 0 2 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 ω 0 2 e − i Ω t ] {\displaystyle x(t)=e^{-\zeta \omega _{0}t}(c_{1}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+c_{2}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t))+Re\left[{\frac {\Phi _{0}\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}+2i\zeta \Omega \omega _{0}\right)}{\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}\omega _{0}^{2}}}e^{-i\Omega t}\right]} x (t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (c_1 \cos( \omega_\mathrm{d} t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm{d} t )) + Re\left[\frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\zeta\Omega\omega_0\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2\omega_0^2} e^{-i\Omega t}\right],

где ω d = ω 0 1 − ζ 2 {\displaystyle \omega _{\mathrm {d} }=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}  \omega_\mathrm{d}=\omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 } — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c 1 {\displaystyle c_{1}}  c_1 и c 2 {\displaystyle c_{2}}  c_2 в каждом из случаев определяются из начальных условий: { x ( 0 ) = x 0 x ˙ ( 0 ) = v 0 {\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}x(0)&=&x_{0}\{\dot {x}}(0)&=&v_{0}\end{array}}\right.} \left\{\begin{array}{ccc}x(0) &=& x_0 \ \dot{x}(0) &=& v_0 \end{array}\right.

В этом случае, в отличие от осциллятора без трения, амплитуда колебаний в резонансе имеет конечную величину.

Если мы рассмотрим устоявший процесс, то есть ситуацию при t → ∞ {\displaystyle t\,\to \,\infty }  t\, \to\, \infty , то решение однородного уравнения будет стремиться к нулю и останется только частное решение:

x ( t → ∞ ) = Φ 0 ( ω 0 2 − Ω 2 ) cos ⁡ Ω t + 2 ζ Ω sin ⁡ Ω t ( ω 0 2 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 Ω 2 = Φ 0 ( ω 0 2 − Ω 2 ) 2 + 4 ζ 2 ω 0 2 Ω 2 cos ⁡ ( Ω t − φ ) {\displaystyle x(t\to \infty )=\Phi _{0}{\frac {\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)\cos {\Omega t}+2\zeta \Omega \sin {\Omega t}}{\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}}}={\frac {\Phi _{0}}{\sqrt {(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2})^{2}+4\zeta ^{2}\omega _{0}^{2}\Omega ^{2}}}}\cos(\Omega t-\varphi )} x(t \to \infty)=\Phi_0 \frac{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)\cos{\Omega t}+2\zeta\Omega\sin{\Omega t}}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2} = \frac{\Phi_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2)^2 + 4 \zeta^2\omega_0^2 \Omega^2 }} \cos (\Omega t - \varphi )

Это означает, что при t → ∞ {\displaystyle t\,\to \,\infty }  t\, \to\, \infty система «забывает» начальные условия, и характер колебаний зависит только от вынуждающей силы.

Работа, совершаемая вынуждающей силой F ( t ) = F 0 cos ⁡ ( Ω t ) {\displaystyle F(t)=F_{0}\cos \left(\Omega t\right)} F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right) за время d t   {\displaystyle dt\ }  dt\ , равна F d x   {\displaystyle Fdx\ }  F dx\ , а мощность P = F d x d t {\displaystyle P=F{\frac {dx}{dt}}}  P = F \frac{dx}{dt} . Из уравнения

x ¨ + 2 ζ ω 0 x ˙ + ω 0 2 x = Φ 0 cos ⁡ ( Ω t ) {\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=\Phi _{0}\cos \left(\Omega t\right)} \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right)

следует, что

P ( t ) = F x ˙ = ( x ¨ + 2 ζ ω 0 x ˙ + ω 0 2 x ) m x ˙ {\displaystyle P(t)=F{\dot {x}}=({\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x)m{\dot {x}}}  P(t) = F \dot x = ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x )m \dot x

Если учесть, что при установившихся вынужденных колебаниях

x = A cos ⁡ ( Ω t − φ ) {\displaystyle x\,=A\,\cos(\Omega t-\varphi )}  x\, = A\, \cos ( \Omega t - \varphi ) x ˙ = − A Ω sin ⁡ ( Ω t − φ ) {\displaystyle {\dot {x}}=-A\Omega \sin(\Omega t-\varphi )}  \dot x = - A \Omega \sin ( \Omega t - \varphi ) x ¨ = − A Ω 2 cos ⁡ ( Ω t − φ ) {\displaystyle {\ddot {x}}=-A\Omega ^{2}\cos(\Omega t-\varphi )}  \ddot x = - A \Omega ^2 \cos ( \Omega t - \varphi )

то тогда средняя за период T = 2 π Ω {\displaystyle T={\frac {2\pi }{\Omega }}}  T = \frac{2 \pi }{ \Omega } мощность:

P = m T ∫ 0 T ( x ¨ + 2 ζ ω 0 x ˙ + ω 0 2 x ) x ˙ d t = A 2 m ζ ω 0 Ω 2 {\displaystyle P={\frac {m}{T}}\int _{0}^{T}({\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x){\dot {x}}dt=A^{2}m\zeta \omega _{0}\Omega ^{2}}  P = \frac{m}{T} \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2

Работа за период

W = m ∫ 0 T ( x ¨ + 2 ζ ω 0 x ˙ + ω 0 2 x ) x ˙ d t = A 2 m ζ ω 0 Ω 2 T = 2 π A 2 m ζ ω 0 Ω {\displaystyle W=m\int _{0}^{T}({\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x){\dot {x}}dt=A^{2}m\zeta \omega _{0}\Omega ^{2}T=2\pi A^{2}m\zeta \omega _{0}\Omega }  W = m \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2 T =2\pi A^2 m \zeta\omega_0 \Omega
Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%8B%D0%BD%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F


Закрыть ... [X]

26. Вынужденные колебания в контуре. Резонанс От чего болят зубы все справа

Отношение частоты установившихся вынужденных колебаний 7.8. Вынужденные колебания - Лекции по физике
Отношение частоты установившихся вынужденных колебаний Вынужденные колебания Википедия
Отношение частоты установившихся вынужденных колебаний Вынужденные колебания, части А-Б
Отношение частоты установившихся вынужденных колебаний 66 Вынужденные колебания. - FizPortal
Отношение частоты установившихся вынужденных колебаний 36 самых красивых причесок Фото, как сделать
Bershka Russia Руководство по покупкам Борщ украинский - Рецепт с фото на Готовим дома Восстановление системы windows 7 и windows xp. Как День красоты В Цимус Заяц из модулей Как понизить пинг в world of tanks? Программа для снижения пинга в WoT Как приготовить бургеры на гриле Как сделать Человека Паука из мастики своими руками? Как сделать игру монополия? Ответ здесь